Gamma dağılımı ve indirim tahsisi: koruma seviyeleri ve gelir oranları

Önceki bölümler talebin ne kadar olacağını ve kapasiteye sığmayanın ne kadarının taşacağını tahmin etmekle uğraştı. Bu bölüm o tahminin ilk kullanıldığı yere geliyor: bir rezervasyon talebi geldiğinde, düşük ücretli sınıftan koltuk verilip verilmeyeceği kararına. Kaynak metin bu kararı tek cümleyle tanımlıyor: indirim tahsisi, düşük ücret ödeyen bir yolcuyu koltuğu daha yüksek ücret ödeyen biriyle doldurma umuduyla geri çevirerek ek gelir üretmeye yönelik bir risk yönetimi. İndirim tahsisi bir fiyat kararı değil, bir risk kararı: elde olan garantili düşük geliri, olasılığı hesaplanmış daha yüksek bir gelir için geri çevirmek. Bu bölüm o hesabın hangi iki girdiyle kurulduğunu, talebin neden Gamma dağılımıyla modellendiğini ve ret kararının yolcuyu kaybetmekle neden bitmek zorunda olmadığını anlatıyor.

Düşük ücretli talebi reddetmek, kesin geliri bir olasılığa takas etmek

Derin indirimli (deep discount) bir rezervasyon talebi geldiğinde sistemin önünde iki seçenek var. Kabul ederse düşük ama kesin bir gelir elde ediyor. Reddederse o koltuğu, kalkışa kadar daha yüksek ücret ödeyecek bir yolcuya satma ihtimalini canlı tutuyor. Karar kuralı da buna göre: koltuğu şimdi düşük ücretle satmak, gelecekte o koltuğu daha yüksek fiyata alacak bir yolcunun önünü kesecekse ve bu ihtimal matematiksel olarak daha kârlıysa, talep reddediliyor.

Bu cümledeki kritik kelime “ihtimal”. Reddedilen yolcunun ödeyeceği para belli; beklenen yüksek ücretli yolcu ise gelmeyebilir. Gelmezse koltuk boş kalkıyor ve reddedilen düşük gelir de kaybedilmiş oluyor. Yani ret kararı her seferinde bir bahis. Gelir yönetimini bir kural motoru olarak değil bir risk yönetimi süreci olarak düşünmenin sebebi bu: tek tek kararların bir kısmı kaçınılmaz olarak kaybettiriyor, hedef kararların toplamında beklenen gelirin en yüksek olması.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: bir ücret sınıfının kapalı olması “bu fiyattan koltuk yok” demek değil, “bu fiyattan koltuk vermek beklenen gelir açısından kötü bir bahis” demek. Müsaitlik servisini tasarlarken bu ayrımı kaybetmemek gerekiyor. Kapalı sınıf fiziksel bir tükenmişlik değil, bir olasılık hesabının çıktısı; hesabın girdileri değiştiğinde aynı koltuk aynı fiyattan yeniden açılabilir.

Çok sınıflı ortamda hedef en yüksek ücret değil, en iyi karışım

Kaynak metnin tanımladığı temel amaç tek bir yolcu tipini maksimize etmek değil: bir uçuşta tam ücretli (full fare), indirimli (discount) ve derin indirimli yolcuların optimal karışımını elde edip toplam geliri maksimize etmek. Uçağı tamamen tam ücretli yolcuya ayırmak, o talep gelmediğinde boş koltuk üretiyor. Tamamen indirimli yolcuya açmak, gelen tam ücretli yolcuyu kapıdan çeviriyor. Doğru cevap ikisinin arasında bir yerde ve o yer uçuştan uçuşa değişiyor.

Dengeyi belirleyen şey, düşük ücretli yolcudan gelecek garantili gelir ile yüksek ücretli yolcudan gelmesi beklenen muhtemel gelir arasındaki olasılıksal fark. Bu fark her sınıf çifti için ayrı ayrı hesaplanabilir ve çok sınıflı bir yapıda karar, en üstteki sınıftan aşağıya doğru her basamakta aynı soruyla tekrarlanıyor: bu koltuğu bir alttaki sınıfa bırakmak mı, bir üsttekine saklamak mı daha kârlı?

Koruma seviyesi yalnızca iki girdiden çıkıyor: talep dağılımı ve gelir oranı

Bu sorunun sayısal cevabı koruma seviyesi (protection level). Koruma seviyesi, yüksek ücretli bir sınıf için düşük ücretli sınıflara kapatılan, yani yüksek ücretli talebe saklanan koltuk sayısı. Kaynak metin iki sınıflı durumu Y (yüksek ücret) ve B (düşük ücret) üzerinden kuruyor ve hesabın neye dayandığını açıkça sınırlıyor: koruma değerlerinin hesaplanması tamamen talebin dağılımı ve ilgili sınıfların gelir oranları tarafından belirleniyor.

Kural şu biçimde yazılıyor: Y sınıfının talebinin korunan koltuk sayısı x’ten fazla olma olasılığı, iki sınıfın gelir oranına eşit olduğunda optimal koruma seviyesine ulaşılmış oluyor.

Pr(D > x) = R_B / R_Y

Buradaki mantık marjinal bir karşılaştırma. Y için bir koltuk daha korumayı düşündüğünü varsay. O koltuğu B’ye satarsan R_B kadar kesin gelir alıyorsun. Y’ye saklarsan, ancak Y talebi o koltuğa kadar uzanırsa R_Y alıyorsun; bunun olasılığı Pr(D > x). Korunan koltuk sayısı arttıkça Y talebinin o kadar yükseğe çıkma olasılığı düşüyor, yani saklanan her ek koltuğun beklenen değeri azalıyor. Beklenen değer kesin B gelirinin altına indiği noktada korumayı durdurmak gerekiyor. Eşitlik o noktayı tanımlıyor.

Bu formülde kapasite, rezervasyon sayısı ya da ücretlerin kendisi yok. Talebin olasılık dağılımı ve iki ücret arasındaki oran var, o kadar. Bu, hesabın hem neden basit hem neden kırılgan olduğunu gösteriyor: basit, çünkü iki girdi yetiyor; kırılgan, çünkü iki girdiden biri, talep dağılımı, bir tahmin. Önceki bölümlerde anlatılan talep tahmini ve arındırma işinin tamamı, sonunda bu formülün sol tarafına giriyor.

Mutlak fiyat önemsiz, sınıflar arası oranı bilmek yetiyor

Formülün en az sezgisel sonucu, kaynak metnin de altını çizdiği gibi, mutlak ücret değerlerinin kendi başlarına önemli olmaması. Kaynak metnin örneği: 1000 ile 700 arasındaki oran 0,70; 100 ile 70 arasındaki oran da 0,70. Talep dağılımı aynıysa ikisi de aynı koruma seviyesini üretiyor. Karar mekanizmasında önemli olan dolar değeri değil, sınıflar arasındaki hiyerarşik oran.

Bunun pratik değeri, gerçek bilet değerinin tam bilinmediği yerlerde ortaya çıkıyor. Kaynak metin özellikle uluslararası pazarları örnek veriyor: komisyonlar ve ek hükümler yüzünden bir biletin havayoluna net olarak ne kazandırdığı çoğu zaman kesin olarak bilinemiyor. Mutlak değere ihtiyaç duyan bir model bu belirsizlik karşısında tıkanırdı. Oranla çalışan model ise sınıflar arasındaki tahmini gelir oranıyla yetiniyor ve kaynak metne göre bu, koruma seviyelerini belirlemek için yeterli ve güvenilir bir yöntem.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: RM motoruna beslenen ücret verisinin kesin net tutar olması şart değil, sınıflar arasındaki oranı doğru taşıması şart. Bu da veri kalitesi kontrolünün nereye odaklanması gerektiğini değiştiriyor. İki sınıfın ücretinin aynı oranda yanlış olması koruma seviyesini bozmuyor; birinin yanlış, ötekinin doğru olması bozuyor. Ücret yüklemesinden sonra yapılacak doğrulama, tek tek tutarların makul olup olmadığından çok sınıflar arası oranların beklenen hiyerarşiyi koruyup korumadığına bakmalı.

Gamma dağılımı, geçmiş verinin ortalaması ve varyansından kuruluyor

Formülün sol tarafı, Pr(D > x), bir talep dağılımı gerektiriyor. Kaynak metin bu dağılım için Gamma’yı kullanıyor. Gamma dağılımı iki parametreyle tanımlanıyor, α (şekil) ve β (ölçek), ve ortalaması ile varyansı bu iki parametreden doğrudan çıkıyor:

μ = αβ σ² = αβ²

Sistemi otomatikleştirmeyi mümkün kılan şey bu ilişkinin ters çevrilebilmesi. Geçmiş rezervasyon verisinden bir sınıfın talebinin ortalaması ve varyansı hesaplandığında, parametreler kapalı formda bulunuyor:

α = μ² / σ² β = σ² / μ

Yani bir optimizasyon ya da iteratif uydurma adımı gerekmiyor. Her uçuş, her sınıf için iki özet istatistik hesaplanıyor, iki bölme işlemiyle dağılım kuruluyor, dağılımın kuyruk olasılığı gelir oranıyla karşılaştırılıyor ve koruma seviyesi okunuyor. Binlerce uçuş ve her birinde birden fazla sınıf çifti için bu hesabın her gece tekrar yapılabilmesi, parametrizasyonun bu kadar ucuz olmasına bağlı.

Matematiksel bir not: Gamma yalnızca pozitif değerler üzerinde tanımlı bir dağılım, dolayısıyla negatif talep olasılığı üretmiyor. Varyansı da ortalamadan bağımsız olarak veriden geliyor; iki parametreli olduğu için dağılımın hem merkezi hem genişliği ayrı ayrı ayarlanabiliyor.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: tahmin servisinin koruma seviyesi hesabına vermesi gereken şey tek bir talep sayısı değil, en az bir ortalama ve bir varyans. Ortalama tek başına Pr(D > x) sorusuna cevap veremiyor; aynı ortalamaya sahip iki uçuştan talebi daha oynak olanda kuyruk olasılığı farklı çıkıyor ve dolayısıyla korunan koltuk sayısı da farklı. Varyansı hesaplamayan ya da saklamayan bir tahmin katmanı, üstündeki optimizasyonun yarısını boş bırakmış oluyor.

Ret kararı yolcuyu kaybetmekle bitmek zorunda değil

Buraya kadar anlatılan model ikili bir karar veriyor: kabul ya da ret. Kaynak metin bunun eksik olduğunu, karar ağacına iki dalın daha eklenmesi gerektiğini söylüyor. Düşük ücretli talep reddedildiğinde yolcu henüz kaybedilmiş değil.

İlk dal upsell. Sistem reddedilen düşük ücret yerine yolcuya daha yüksek bir ücret sınıfını, örneğin Y sınıfını teklif ediyor. Yolcu kabul ederse havayolu hem koltuğu satmış hem de düşük ücrete göre gelir artışı elde etmiş oluyor. Bu, koruma seviyesinin zaten saklamak istediği yüksek ücretli satışın, başka bir yoldan gelmiş hali.

İkinci dal recapture. Yolcu aynı uçuşta yüksek ücreti de reddederse, havayolu onu kendi ilk tercihi olmayan ama hâlâ indirimli koltuğu bulunan alternatif bir uçuşa yönlendiriyor. Amaç yolcunun rakip havayoluna gitmesini engellemek. Gelir aynı uçuşta değil, havayolunun ağında kalıyor.

Kaynak metne göre bu iki dalı karar ağacına dahil etmek, dökülen (spilled) yolcu sayısını azaltırken toplam sistem gelirini artırıyor. Buradaki “sistem” kelimesi önemli: recapture, tek uçuşun gelirini değil havayolunun toplam gelirini optimize ediyor. Tek bir uçuşa bakan bir koruma seviyesi hesabı, reddedilen yolcunun ne kadarının başka bir uçuşa geçeceğini bilmiyor.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: müsaitlik cevabı “yok” ile bitmemeli. Kapalı bir sınıf için dönen cevap, aynı uçuşta açık olan bir üst sınıfı ve aynı pazarda indirimli sınıfı hâlâ açık olan alternatif uçuşları taşıyabilmeli. Bu, müsaitlik ile alışveriş (shopping) katmanı arasındaki sözleşmeyi değiştiriyor: tek bir uçuşun tek bir sınıfını sorgulayan bir arayüz upsell’i de recapture’ı da ifade edemez.

Kontrol, uçuşun hangi parçasında uygulandığına göre farklı sonuç veriyor

Koruma seviyesi hesaplandıktan sonra bir yerde uygulanması gerekiyor. Kaynak metin iki operasyonel seviye sayıyor. Birincisi bacak bazlı (leg-based) kontrol: koltuk kararı fiziksel uçuş bacağı üzerinde veriliyor, segment limitleriyle destekleniyor. İkincisi segment sınıfı (segment class) kontrolü: karar doğrudan yolcunun satın aldığı segment ve sınıf kombinasyonu üzerinde veriliyor. İkisinin de amacı ağdaki her uçuş parçasının kârlılığını optimize etmek.

Kaynak metnin çıkarımı, uygulamada ikisinin hibrit kullanımının karmaşık uçuş ağlarında daha hassas koltuk yönetimi sağladığı. Yani soru hangisinin doğru olduğu değil; bacak seviyesindeki kapasite sınırıyla segment seviyesindeki satış kararının aynı anda tutulması.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: envanter veri modeli koruma seviyesini tek bir anahtara bağlamamalı. Aynı uçuş için hem bacak hem segment seviyesinde limit tutabilen, bir satışta ikisini birlikte güncelleyen bir model, kontrol stratejisi değiştiğinde şema değişikliği gerektirmiyor.

Yarın işe yarayacak dört çıkarım

1. Net ücreti bilmiyorsan oranla çalış. Komisyonlar ve ek hükümler yüzünden biletlerin net değeri bilinmiyorsa, sınıflar arasındaki tahmini gelir oranı koruma seviyesini belirlemek için yeterli. Veri doğrulamasını tutarlara değil oranların hiyerarşisine odakla.
2. Gamma parametrelerini veriden kapalı formda üret. Geçmiş talebin ortalamasından ve varyansından α = μ²/σ² ve β = σ²/μ ile dağılımı kur. İki özet istatistik ve iki bölme işlemi yetiyor; hesap her gece bütün ağ için otomatik tekrarlanabilir. Bunun için tahmin katmanı varyansı da üretmeli ve saklamalı.
3. Karar ağacına upsell ve recapture’ı ekle. Kabul-ret ikiliğinde kalma. Reddedilen düşük ücretli talebe önce aynı uçuşta üst sınıfı, o da reddedilirse indirimli koltuğu olan alternatif uçuşu teklif et. Dökülen yolcu azalır, gelir havayolunun ağında kalır.
4. Bacak ve segment kontrolünü birlikte kullan. Karmaşık ağlarda bacak bazlı kontrolü segment bazlı kontrolle hibrit uygula; envanter modelini de iki seviyede limit tutabilecek şekilde kur.

Bu bölümde ne yok: talep dağılımının kendisinin nasıl tahmin edildiği ve kısıtlanmamış talebin nasıl elde edildiği (talep tahmini bölümleri), reddedilen talebin ne kadarının kaybedildiği (spill bölümleri) ve kapasitenin üstünde ne kadar rezervasyon kabul edileceği (“Havacılık ve hizmet sektöründe overbooking stratejileri ve operasyonel analiz”). Bu bölüm, bu tahminlerin bir koltuğun hangi fiyattan satılacağı kararına hangi formülle dönüştüğünü anlatmak için var.