İndirim tahsis kontrolleri, Littlewood kuralı ve Gamma talep modeli

Gelir yönetiminin ilk yıllarında havayolunun envanter üzerindeki tek aktif kontrolü overbooking’di: kaç yolcunun gelmeyeceğini tahmin edip kapasitenin üstünde rezervasyon almak. Kaynak metne göre bu durum 1970’lerin başına kadar sürdü. Sonra iki şey aynı yıl oldu. 1972’de British Overseas Aircraft Corporation (BOAC) 21 gün önceden rezervasyon indirimini tanıttı, aynı yıl Littlewood bu indirimli koltukların kaç tanesinin satılacağını belirleyen kuralı ortaya koydu. İndirim tahsis kontrolü (discount allocation) bu ikisinin birleşiminden doğdu. İndirimli bir koltuğu satmak bir fiyat kararı değil, bir tahmin kararıdır: koltuğun bugünkü ücretiyle, aynı koltuğun ileride tam ücretle satılma ihtimalinin değeri kıyaslanır ve kararın kalitesi o ihtimali hesaplayan talep modelinin kalitesinden yukarı çıkamaz.

Bu bölüm o kıyaslamanın üç parçasını sırayla ele alıyor: kuralın kendisi, kuralın çalışabilmesi için segmentleri ayıran bariyer ve kuralın girdisi olan talep dağılımı. Arada overbooking’e de kısaca dönüyor, çünkü indirim tahsisi ile fazla rezervasyon aynı koltuk sayısı üzerinde çalışan iki ayrı kontrol.

Littlewood kuralı bir fiyatı değil, bir beklentiyi eşik yapıyor

Kaynak metnin aktardığı ilke tek cümle: indirimli yolcu, indirimli ücret gelecekte gelecek ve daha yüksek ödeyecek tam ücretli yolcuların beklenen gelirinden fazlaysa kabul edilmeli. Tersi durumda, yani ileride gelmesi muhtemel yüksek gelir mevcut indirimli fiyatı aşıyorsa, koltuk boş tutuluyor. Kaynak metin bunu gelir yönetiminin altın kuralı ve modern algoritmaların temeli olarak niteliyor.

Kuraldaki kritik kelime “beklenen”. Tam ücret sabit bir sayı; o koltuğa gerçekten tam ücretli bir yolcunun gelip gelmeyeceği ise belirsiz. Bir koltuğu tam ücretli yolcuya saklamanın değeri, tam ücret çarpı o koltuğa tam ücretli talebin ulaşma olasılığı. Yüksek ücretli talep güçlüyse bu olasılık bire yakın ve koltuk saklanıyor. Talep zayıfsa olasılık düşük, beklenen gelir indirimli ücretin altına iniyor ve koltuk indirimle satılıyor. Aynı indirimli ücret, aynı uçuşta, farklı talep tahminleriyle bir gün kabul bir gün ret sonucu verebilir. Kuralın mekanik bir tavan olmadığı, her an güncellenen bir karşılaştırma olduğu buradan geliyor.

Bu karşılaştırma koltuk koltuk yapıldığında ortaya bir sayı çıkıyor: yüksek ücretli sınıf için kaç koltuğun ayrılması gerektiği. Buna koruma seviyesi (protection level) deniyor. Koruma seviyesinin altına inilince, yani kalan koltuk sayısı korunan sayıya eşitlenince, düşük ücretli sınıf satışa kapanıyor. Yolcunun rezervasyon ekranında gördüğü “bu sınıfta yer yok” mesajının arkasında çoğu zaman bu eşik var; uçakta koltuk boş olsa bile.

Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: envanter sisteminin sorduğu soru “bu sınıfta kaç koltuk kaldı” değil, “bu sınıfı açık tutmanın beklenen maliyeti ne”. İlki bir sayaç, ikincisi bir tahminin çıktısı. Sınıf kapanış kararını statik bir kota tablosuna gömen sistem, talep tahmini değiştiğinde kararın değişmesi gerektiğini bilemiyor. Kaynak metnin çıkarımlarından biri de bu yönde: kuralı yalnızca sabit fiyatlar için değil, beklenen marjinal gelirin sürekli güncellendiği dinamik senaryolar için entegre etmek.

İndirim ancak onu herkese vermeyen bir bariyerle çalışıyor

Littlewood kuralı iki farklı yolcu grubunun varlığını varsayıyor: indirimi kabul eden ve tam ücreti ödemeye razı olan. Kural bu iki grubun ayrı ayrı geldiğini, tam ücretli yolcunun indirimli koltuğa kaymadığını kabul ediyor. Bu kabulü gerçeğe yaklaştıran şey kuralın kendisi değil, ücret ürününün tasarımı.

BOAC’ın 21 gün önceden rezervasyon şartı tam bu işi görüyordu. Kaynak metin bariyerin mantığını şöyle kuruyor: sistem, fiyat duyarlılığı yüksek yolcuyu (tatil amaçlı) fiyat duyarlılığı düşük ama zaman duyarlılığı yüksek yolcudan (iş amaçlı) ayırmak için erken rezervasyon (advance booking) kısıtlamasını bir bariyer olarak kullanıyor. Tatilci planını haftalar önce yapabiliyor ve indirim için bunu yapmaya razı. İş yolcusunun seyahat ihtiyacı çoğu zaman son haftada doğuyor; 21 gün kuralı onun için indirimi fiilen erişilmez kılıyor.

Burada zaman iki rol birden oynuyor. Birincisi segmentasyon: bariyer kimin hangi ücrete erişebileceğini belirliyor. İkincisi sıralama: indirimli talep erken, tam ücretli talep geç geliyor. Littlewood kuralının “gelecekte gelecek yüksek ücretli yolcu” dediği şey tam olarak bu geç talep. İndirimli koltuğu satıp satmama kararı, tam ücretli yolcu henüz ortada yokken, onun geleceğine dair bir tahminle veriliyor. Bariyer olmasaydı iki talep karışır, kuralın karşılaştırdığı iki büyüklük birbirinden ayrılamazdı.

Yazılım tarafında bunun karşılığı, ücret kuralı ile envanter kontrolünün ayrı katmanlar ama aynı mantığın iki parçası olması. Erken rezervasyon şartı ücret kuralında yaşıyor; koruma seviyesi envanterde. Biri gevşetilip öteki aynı bırakılırsa, örneğin bariyer kaldırılıp koruma seviyesi eski segment varsayımıyla hesaplanmaya devam ederse, model tam ücretli yolcunun indirime kaymasını hiç görmüyor. Talep tahmini de kayan yolcuyu indirimli talep olarak kaydediyor ve hata kendini besliyor.

Overbooking aynı koltuk sayısını öbür uçtan esnetiyor

İndirim tahsisi, var olan koltukların hangi ücret sınıfına gideceğini belirliyor. Overbooking ise satılabilecek koltuk sayısının kendisini esnetiyor. Kaynak metin iki kontrolü aynı gelir hedefinin parçası olarak ele alıyor: havayolu geliri maksimize etmek ve boş koltuk riskini yönetmek için kapasitenin üzerinde rezervasyon alıyor.

Karar mekanizması iki maliyeti kıyaslıyor: uçağın boş koltukla kalkmasının maliyeti ve gelen yolcunun uçağa alınamamasının maliyeti. Maksimum rezervasyon limiti bu ikisinin dengesinden çıkıyor. Kaynak metin hedefi bir örnekle veriyor: overbooking ile doluluk oranını (load factor) örneğin %89’dan %95’e çıkarmak. Aradaki fark, rezervasyonu olup gelmeyen yolcuların bıraktığı ve aksi halde boş kalacak koltuklar.

Bu esnetmenin bir performans ölçüsü var ve kaynak metin onu açıkça söylüyor: her 10.000 yolcu başına istemsiz reddedilen yolcu (involuntary denied boarding) sayısı. İstemsiz reddedilen yolcu, rezervasyonu ve biletiyle gelip kendi isteği dışında uçağa alınmayan yolcu. Kaynak metnin aktardığı ABD Ulaştırma Bakanlığı (DOT) verisi 1990’ın üçüncü çeyreğine ait ve iki havayolu arasındaki farkı gösteriyor: her 10.000 yolcuda Southwest için 4,82, American için 0,85. Aynı dönemde beş kattan fazla fark.

Bu fark tek başına hangi havayolunun daha iyi olduğunu söylemiyor; iki havayolunun overbooking’e farklı risk iştahıyla yaklaştığını söylüyor. Kaynak metnin önerisi de bu yüzden bir karşılaştırma: karar vericilerin bu oranı izleyerek overbooking limitlerinin müşteri memnuniyeti ve yasal tazminat limitleri içinde kalıp kalmadığını denetlemesi, oranı rakip havayollarının verisiyle kıyaslaması. Oranın kendisi bir hedef değil, limitin fazla agresif mi fazla temkinli mi kaldığını gösteren bir gösterge.

Yazılım tarafında bunun karşılığı, overbooking limitini hesaplayan servisin çıktısının kapıda ne olduğunu gören operasyon verisiyle aynı yerde toplanması. Limit bir modelden çıkıyor, reddedilen yolcu sayısı kalkış kontrolünden. İkisi aynı tabloda buluşmazsa model kendi hatasını hiç görmüyor.

Talebi normal dağılımla modellemek imkânsız bir talep üretebiliyor

Littlewood kuralının ve koruma seviyesinin girdisi bir talep dağılımı: bu uçuşta bu sınıfa kaç tam ücretli yolcunun geleceğinin olasılıkları. Kuralın doğru karar vermesi, bu dağılımın gerçeğe ne kadar yakın olduğuna bağlı. Kaynak metin burada net bir tercih yapıyor ve gerekçesini iki noktaya dayandırıyor.

Birincisi işaret. Normal dağılım eksi sonsuzdan artı sonsuza uzanıyor; ortalaması düşük, varyansı yüksek bir sınıfta dağılımın hatırı sayılır bir kısmı sıfırın altına düşüyor. Kaynak metin bunu açıkça söylüyor: normal dağılım negatif talebe izin verebiliyor, Gamma dağılımı ise her zaman pozitif. Negatif talep fiziksel olarak mümkün değil; hiçbir uçuşa eksi üç yolcu gelmiyor. Ama modelin olasılık kütlesinin bir kısmını imkânsız bir bölgeye harcaması, gerçek bölgedeki olasılıkların yanlış hesaplanması demek.

İkincisi şekil. Normal dağılım simetrik; ortalamanın iki yanındaki sapmalar eşit sıklıkta. Gerçek talep ise kaynak metne göre asimetrik: çoğu uçuşta talep belirli bir düzeyde yığılıyor, bazı uçuşlarda ise beklenmedik sıçramalar oluyor. Kaynak metin Gamma dağılımının bu asimetrik doğaya daha uygun bir matematiksel model sunduğunu söylüyor. Simetrik bir model, talep artışlarını ve düşük talep dönemlerini aynı genişlikte çiziyor; oysa ikisinin sıklığı ve büyüklüğü farklı.

Bu tercih koruma seviyesine doğrudan yansıyor. Littlewood kuralının kıyasladığı olasılık, tam ücretli talebin belirli bir koltuk sayısını aşma olasılığı. Bu, dağılımın kuyruğunda hesaplanan bir sayı. Kuyruğu yanlış çizen model, koruma seviyesini de yanlış yere koyuyor: ya yüksek ücretli yolcuya gereğinden fazla koltuk saklıyor ve o koltuklar boş kalıyor, ya da gereğinden az saklıyor ve tam ücretli yolcu geldiğinde koltuk indirimle çoktan satılmış oluyor. Kaynak metnin yönetici özeti sonucu şöyle bağlıyor: veriler Gamma dağılımının daha kesin sonuçlar verdiğini ve koruma seviyelerini daha iyi optimize ettiğini gösteriyor.

Koruma seviyesi iki parametreye bağlı ve o parametreler eskiyor

Gamma dağılımı iki parametreyle tanımlanıyor: şekil (α) ve ölçek (β). Şekil parametresi dağılımın ne kadar asimetrik olduğunu, ölçek parametresi ne kadar yayıldığını belirliyor. Kaynak metne göre algoritma talep belirsizliğini bu iki parametre üzerinden modelliyor, yüksek ücretli yolcular için koruma seviyelerini bu parametrelerden hesaplıyor ve düşük ücretli sınıfların satışa kapatılacağı eşik değerleri buradan belirliyor.

Zincir şöyle: geçmiş rezervasyon verisinden α ve β tahmin ediliyor, bu ikisi bir talep dağılımı veriyor, dağılım Littlewood kuralının kıyasladığı olasılığı veriyor, olasılık koruma seviyesini veriyor, koruma seviyesi de hangi sınıfın ne zaman kapanacağını. Zincirin başındaki iki sayı yanlışsa sonundaki satış kararı da yanlış. Zincirin hiçbir halkası hata vermiyor; sistem sadece sessizce yanlış sınıfı açık ya da kapalı tutuyor.

Parametrelerin eskimesi de buradan kaynaklanıyor. Talep profili değişiyor: yeni bir rakip rotaya giriyor, bir sezon beklenenden erken başlıyor, iş seyahati ile tatil seyahatinin oranı kayıyor. Kaynak metnin çıkarımı bu yüzden bir bakım kuralı: talep profilindeki değişimlere hızlı uyum sağlamak için α ve β’nın düzenli olarak yeniden kalibre edilmesi. Bir kez tahmin edilip bırakılan parametre, bugünkü talebe değil kalibrasyon günündeki talebe göre koltuk saklıyor.

Yazılım tarafında bunun karşılığı, dağılım parametrelerinin kod sabiti değil, sürümlenen ve tarihlenen bir veri olması. Hangi koruma seviyesinin hangi α ve β ile hesaplandığı kaydedilmezse, bir sınıfın neden erken kapandığını sonradan açıklamak mümkün olmuyor. Dağılım ailesinin kendisi de, yani normal mi Gamma mı, aynı şekilde yapılandırılabilir olmalı. Kaynak metnin bir çıkarımı zaten bir geçişi öngörüyor: rezervasyon sistemleri hâlâ normal dağılım kullanıyorsa Gamma tabanlı modellemeye geçmek. Dağılımı kodun derinine gömen sistem bu geçişi bir yapılandırma değişikliği olarak değil, bir yeniden yazım olarak yaşıyor.

Yarın işe yarayacak dört çıkarım

1. Kapanış eşiğini beklenen gelirle hesapla, kotayla değil. Littlewood kuralını yalnızca sabit fiyatlar için bir kez çalıştırıp kota tablosuna yazma. Beklenen marjinal gelir talep tahminiyle birlikte güncellendiğinde sınıf kapanış eşiği de güncellensin.
2. Talep modelinde normal dağılımı sorgula. Rezervasyon sistemi hâlâ normal dağılım kullanıyorsa, asimetrik talep artışlarını ve düşük talep dönemlerini daha iyi yakalamak için Gamma tabanlı modellemeye geç. Özellikle ortalaması düşük, varyansı yüksek sınıflarda normal dağılımın ne kadar olasılık kütlesini sıfırın altına koyduğuna bak.
3. Overbooking limitini reddedilen yolcu oranıyla denetle. Limitleri belirlerken her 10.000 yolcu başına istemsiz reddedilen yolcu oranını izle ve rakip havayollarının verisiyle kıyasla. Oran hem gelirin hem marka itibarının göstergesi; limit servisinin çıktısıyla kapı verisini aynı yerde topla.
4. α ve β’yı düzenli yeniden kalibre et. Gamma modelinin şekil ve ölçek parametrelerini talep profilindeki değişime göre düzenli olarak yeniden tahmin et. Parametreleri tarihli veri olarak sakla ki bir koruma seviyesinin hangi parametreyle hesaplandığı sonradan izlenebilsin.

Bu bölümde ne yok: overbooking limitinin show-up tahmininden nasıl çıkarıldığı (“Biniş oranı tahmini ve overbooking stratejileri” ve “Havacılıkta overbooking (fazla rezervasyon) ve show-up modelleme stratejileri”), talebin kapasiteyi aştığında kaybedilen yolcunun nasıl ölçüldüğü (spill bölümleri) ve ikiden fazla ücret sınıfına genişleyen sıralı koruma seviyeleri. Bu bölüm iki sınıflı temel kararı ve o kararın hangi talep modeline yaslandığını anlatmak için var.