Beklenen kapasite aşımı (expected spill) ve Boeing modeli analizi

Bir uçuş satışa kapandığında envanter sistemi son koltuğun kime satıldığını biliyor. Ondan sonra bilet almak isteyen yolcuyu ise hiç görmüyor: talep vardı ama kaydı yok. Havacılıkta bu kayba spill (taşma) deniyor; yolcu talebi uçak kapasitesini aştığında uçağa kabul edilemeyen ve kaybedilen potansiyel yolcular. Spill ölçülemez, yalnızca tahmin edilir; ve aynı doluluk oranı arkasında birbirinden üç kattan fazla farklı kayıplar saklanabilir. Boeing spill modeli bu tahmini yapmanın endüstride yaygın kabul görmüş yolu. Bu bölüm modelin ne varsaydığını, hangi parametrenin sonucu ne kadar oynattığını ve bir sistemin bu sayıyla ne yapması gerektiğini anlatıyor.

Kapanmış bir uçuş talebi değil, kendi kapasitesini ölçüyor

Envanter tarafında olan şey basit. Altea veya Sabre gibi bir envanter sisteminde kapasite dolduğunda uçuşun durumu kapalıya dönüyor; PSS üzerinden GDS’e giden uygunluk (AVS, availability status) mesajları sıfır dönüyor ve sistem o andan itibaren talebe karşı kör. Satış verisi ne kadar ayrıntılı olursa olsun, kapasitenin üstündeki talebi içermiyor. Bu yüzden gelir yönetiminde kısıtlanmamış talep (unconstrained demand) ayrı bir kavram: kapasite sınırı olmasaydı gelecek yolcu sayısı.

Yazılım tarafında bunun karşılığı tanıdık bir istatistik problemi: sansürlenmiş veri. Dolu kapanan her uçuşun satış kaydı gerçek talebin alt sınırı, kendisi değil. Bu veriyle doğrudan eğitilen bir talep tahmini, dolu uçuşların talebini sistematik olarak düşük görüyor ve bir sonraki dönemde o uçuşa daha az kapasite önerecek kadar yanılıyor. Spill modeli bu döngüyü kırmanın aracı.

Matematiksel tanım koşullu beklenti üzerine kurulu. Talep D rastgele bir değişken, kapasite c sabit. Beklenen spill, talebin kapasiteyi aştığı durumlarda aşan talebin ortalamasından kapasitenin çıkarılması ve bunun o durumun gerçekleşme olasılığıyla çarpılması. Yani iki soru birden soruluyor: talep kapasiteyi ne sıklıkla aşıyor ve aştığında ne kadar aşıyor.

Model dört sayıyla çalışıyor ve bir tanesi her şeyi taşıyor

Boeing spill modeli talebi normal dağılımla temsil ediyor ve dört parametreye indiriyor. Kapasite (c) mevcut koltuk sayısı. Ortalama talep (μ) beklenen yolcu sayısı. Standart sapma (σ) talebin ne kadar geniş dağıldığı. Dördüncüsü bunların birleşimi: k = (c − μ) / σ, yani kapasitenin ortalama talepten kaç standart sapma uzakta olduğu. k büyükse uçak talebe göre geniş, spill ihtimali düşük; k sıfıra ya da negatife yaklaştıkça dağılımın kuyruğu kapasite çizgisini geçiyor ve taşan yolcu artıyor.

Modelin çıktısı beklenen trafik: toplam ortalama talepten beklenen spill çıkarıldığında kalan, yani gerçekte uçağa binecek yolcu sayısı. E[Trafik] = μ − E[Spill]. Bir sistem bu formülü iki yönde kullanabiliyor. İleri yönde, tahmin edilen talep ve seçilen uçak tipiyle kaç yolcu taşınacağını hesaplıyor. Geri yönde, gözlemlenen trafikten kısıtlanmamış talebi geri kuruyor.

Modelin kökeni de ne için kullanıldığını açıklıyor. Kaynak metin normal spill modelinin ilk türetilişini Shlifer ve Vardi’ye (1975) atfediyor ve bunun overbooking bağlamında yapıldığını not ediyor. Boeing ise tabloları standartlaştırdı ve kaynak metnin ifadesiyle Boeing spill tabloları endüstride yaygın olarak kullanılıyor. Slaytın mühendislik notu Boeing’in motivasyonunu da söylüyor: hangi rotaya daha büyük, geniş gövdeli uçak atanması gerektiğini havayollarına matematiksel olarak göstermek. Yani bu tablolar filo atamanın gerekçe belgesi olarak doğdu.

Aynı slayt modelin pratik sınırını da işaretliyor: normal dağılım endüstri standardı olsa da, aşırı talep sıçramaları olan tatil rotalarında gerçek talep genellikle Gamma dağılımına daha yakın. Bir sistem için bunun anlamı, dağılım varsayımının bir yapılandırma parametresi olması gerektiği; koda gömülü bir sabit değil.

Aynı dolulukta kayıp, talebin ne kadar oynadığına bağlı

Modelin en az sezgisel sonucu değişkenlik katsayısında çıkıyor. Değişkenlik katsayısı (CV, coefficient of variation) standart sapmanın ortalamaya oranı; talebin ortalamasına göre ne kadar dalgalandığını söylüyor. Slaytın ticari çerçevesi net: iş amaçlı rotalarda her hafta benzer sayıda yolcu uçtuğu için CV düşük, tatil rotalarında yüksek.

Kaynak tablolar 100 koltukluk bir uçak ve gözlemlenen yüzde 80 doluluk için şunu gösteriyor. CV 0,30 iken nominal talep 84,03 yolcu, spill 4,03 yolcu, spill oranı yüzde 4,79. CV 0,40 olduğunda aynı yüzde 80 dolulukta nominal talep 89,81’e, spill 9,81 yolcuya, spill oranı yüzde 10,92’ye çıkıyor. Doluluk raporunda iki uçuş aynı görünüyor; kaybedilen yolcu iki katından fazla.

Fark doluluk arttıkça açılıyor. Brifingdeki örnekte yüzde 90 yük faktöründe spill CV 0,30 için 15,71 iken CV 0,40’ta 34,38. Oynak rotada uçağı yüzde 90 dolduran havayolu, sakin rotadakinin iki katından fazla yolcuyu kapıdan çeviriyor ve bunu doluluk raporundan göremiyor.

Buradan çıkan iş kuralı, tek bir doluluk hedefinin bütün ağa uygulanmaması. Yüksek CV’li rotalarda nominal yük faktörü hedefi spill kaybını azaltmak için daha esnek tutulmalı; slaytın ifadesiyle kapasite atanırken ya da koruma koltukları ayarlanırken bu uçuşlarda daha esnek davranılmalı. Bir kapasite ya da RM sisteminde bunun karşılığı, doluluk hedefinin rota düzeyinde tutulan ve CV ile birlikte okunan bir değer olması. Hedefi filo ortalamasından alan bir kural, sakin rotada fazla kapasite, oynak rotada fazla spill üretiyor.

Gözlemlenen doluluk bir tavan, nominal doluluk bir iddia

Tablolardaki iki kolon karıştırılmaya çok müsait. Gözlemlenen yük faktörü uçakta fiilen oturan yolcunun kapasiteye oranı. Nominal yük faktörü ise sınırsız talep varsayımı altındaki potansiyel, yani ortalama talebin kapasiteye oranı. CV 0,30 örneğinde gözlemlenen yüzde 80, nominal yüzde 84,03; aradaki 4,03 puan tam olarak spill. Formül burada kendini doğruluyor: 84,03 − 4,03 = 80.

Sistemin bu farkı yorumlama kuralı da buradan geliyor. Nominal değer gözlemlenenden büyükse, aradaki fark kapasite kısıtı yüzünden reddedilen yolcu potansiyeli olarak okunmalı; talep eksikliği olarak değil. Mühendislik açısından bu, raporlama katmanında iki ayrı alan demek. Dashboard’da yalnızca gözlemlenen doluluğu gösteren bir sistem, en çok yolcu kaybeden uçuşları en başarılı uçuşlar gibi sunuyor.

Uçuşlar yüzde 100’de kapanmıyor, tablolar da buna göre kaymalı

Yukarıdaki rakamların hepsi bir varsayıma dayanıyor: uçuş tam yüzde 100 dolulukla satışa kapanıyor. Bu varsayımın adı LFCF (load factor on closed flights), kapanmış uçuşlardaki yük faktörü. Kaynak tablolar LFCF’nin yüzde 96’ya çekildiği ikinci bir set veriyor. Slayt nedenini operasyon diliyle anlatıyor: havayolları bağlantı uçuşunu kaçıranları, son dakika grup iptallerini ya da kargo ağırlık kısıtlarını (weight and balance) biliyor; iptaller, no-show ve operasyonel kısıtlar yüzünden satışa kapanan uçuş fiziksel olarak tam dolu uçmuyor.

Etki büyük. CV 0,30 ve yüzde 80 gözlemlenen dolulukta spill, LFCF yüzde 100 iken 4,03 yolcu, yüzde 96 iken 6,10 yolcu; spill oranı yüzde 4,79’dan yüzde 7,09’a çıkıyor. CV 0,40’ta aynı düzeltme spill’i 9,81’den 14,05’e, oranı yüzde 10,92’den yüzde 14,94’e taşıyor. Brifingin özetlediği gibi aynı yüzde 80 dolulukta, CV ve LFCF değiştikçe kaybedilen yolcu 4’ten 14’e kadar yükselebiliyor.

Mantık şu: uçuş yüzde 96’da satışa kapanıyorsa, satış daha erken duruyor ve talebin daha büyük kısmı kapıda kalıyor. Aynı gözlemlenen doluluk, daha fazla spill anlamına geliyor. İş kuralı olarak sistem LFCF yüzde 96 iken daha ihtiyatlı bir kapasite yönetimi varsaymalı. Spill uyarısı ya da satış kapatma kararı da yalnızca fiziksel kapasiteye değil, kapanış yük faktörüyle düzeltilmiş kapasite sınırına göre tetiklenmeli: gözlemlenen talep bu düzeltilmiş sınıra yaklaşıyorsa sistem uyarı vermeli ya da satışı kapatmalı.

Yazılım tarafında LFCF’nin yeri bir parametre tablosu. Model her çağrıldığında aynı yüzde 100 varsayımıyla çalışıyorsa, overbooking modülüyle spill modülü aynı uçuş için birbiriyle çelişen iki gerçeklik tutuyor demek. Bu bölümün en pratik bulgusu bu çelişkinin maliyetinin sayılabilir olması: 4,03 ile 6,10 arasındaki fark.

Hesabın maliyeti, modelin kendisi kadar belirleyici

Normal dağılımın bir sorunu var: kümülatif dağılım fonksiyonunun kapalı bir formu yok, bir integral. Büyük ölçekli bir rezervasyon sisteminde bu hesabın her uçuş ve her sınıf için tekrar tekrar yapılması gerekiyor. Kaynak metin burada bir alternatife işaret ediyor: Swan (1983) normal dağılıma bir logit yaklaşımı önerdi ve bu yaklaşımda beklenen spill’in daha basit bir temsili var.

Yaklaşım normal dağılımın kümülatifini 1 / (1 + e^(−1,702k)) biçiminde tek bir üstel ifadeyle değiştiriyor. Brifinge göre sonuçları normal dağılıma çok yakın, hesap ise çok daha ucuz. Slayt bu farkı tarihsel bağlama oturtuyor: 1980’ler ve 90’ların TPF mainframe sistemleri düşük işlem gücüne sahipti ve binlerce uçuş sınıfı için integral çözmek donanımı kilitliyordu. Slayt, karmaşık eğri hesaplarını basit üstel denklemlere çevirmenin ağ geneli optimizasyon süresini saatlerden milisaniyelere indirdiğini ve PROS ya da Amadeus Altéa gibi modern RM motorlarında bile bu deterministik arama tablosu ve logit izlerinin sürdüğünü söylüyor.

Buradaki mühendislik dersi, model seçiminin yalnızca doğruluk sorusu olmaması. Bir yaklaşımın hatası küçükse ve çağrı sayısı büyükse, ucuz yaklaşım doğru seçim. Ama bu karar bir kez verilip unutulmamalı: logit ile normal arasındaki farkın hangi k aralığında kabul edilebilir kaldığı, yaklaşımı kullanan sistemin test setinde duran bir şey olmalı. Aksi halde bir sonraki ekip, yaklaşımın neden orada olduğunu bilmeden onu gerçek model sanıyor.

Spill tek başına bir hedef değil, spoilage ile bir denge

Spill modelinin var olma nedeni bir ikilem. Slaytın ifadesiyle sınıfları çok erken kapatırsan yolcu reddediyorsun, bu spill; çok geç kapatırsan uçak boş koltukla uçuyor, bu spoilage. Spill modeli bu terazinin bir kefesini ölçülebilir hale getiriyor. Tek başına minimize edilecek bir metrik değil: sıfır spill, büyük olasılıkla fazla kapasite ve boş koltuk demek.

Slayt aynı yerde modelin sınırını da çiziyor: modelleme veriyi sağlıyor, ama weight and balance sınırları, overbooking limitleri ve GDS polling oranları gibi operasyonel kısıtlar nihai gerçekliği belirliyor. Hedef de açıkça yazılı: arz edilen koltuk mili (available seat mile) başına birim geliri maksimize etmek. Kapak slaytındaki uzman notu aynı şeyi söylüyordu; bütün spill modelleri temelde bir yield maksimizasyonu oyunu.

Pazarlama planlama bölümünde anlatılan son dakika uçak değişimi bu modelin en doğrudan kullanıcısı. Talep tahmini planlanan kapasiteden saptığında uçak tipini değiştirme kararı, iki uçak tipi için ayrı ayrı hesaplanmış beklenen trafik ve beklenen spill olmadan verilemiyor. Boeing’in tabloları ilk olarak tam bu soruya, hangi rotaya hangi büyüklükte uçak konacağına cevap vermek için hazırlanmıştı.

Yarın işe yarayacak beş çıkarım

1. Satış verisini talep sanma. Dolu kapanan uçuşun satış kaydı talebin alt sınırı. Talep tahminini bu veriyle beslemeden önce spill tahminiyle kısıtlanmamış talebe geri çevir; beklenen trafik ile ortalama talep arasındaki ilişki (E[Trafik] = μ − E[Spill]) bunun için var.
2. Doluluk hedefini rota düzeyinde ve CV ile birlikte tut. Yüzde 80 gözlemlenen dolulukta spill, CV 0,30 için 4,03, CV 0,40 için 9,81 yolcu. Oynak rotalarda nominal yük faktörü hedefini daha esnek bırak; tek bir ağ geneli hedef, iki tür rotayı da yanlış yönetir.
3. Gözlemlenen ve nominal doluluğu ayrı raporla. Aradaki fark reddedilen yolcu potansiyeli. Yalnızca gözlemlenen doluluğu gösteren bir rapor, en çok kaybeden uçuşu en başarılısı gibi gösterir.
4. LFCF’yi yüzde 100 bırakma. Uçuşlar iptal, no-show ve operasyonel kısıtlar yüzünden tam dolu kapanmıyor. Kapanış yük faktörünü yüzde 96 gibi gerçekçi bir değerle modelle, spill uyarısını ve satış kapatmayı bu düzeltilmiş sınıra göre tetikle.
5. Hesap maliyeti yüksekse logit yaklaşımını kullan, sınırını test et. Swan’ın (1983) yaklaşımı normal dağılım integralini tek bir üstel ifadeye indiriyor. Kullandığın k aralığında normal modelle farkını ölçen bir testi yaklaşımın yanında tut; dağılım varsayımını da (normal, Gamma) kod sabiti değil parametre yap.

Bu bölümde ne yok: kapanmış sınıfların talebini tarihsel veriden geri kuran detruncation yöntemleri, overbooking seviyesinin kendisinin nasıl seçildiği ve spill tahmininin tam bir filo atama optimizasyonuna nasıl girdiği. Envanteri yolcu miksine göre açıp kapatan mekanizma gelir yönetimi bölümlerinde, son üç aydaki uçak değişimi kararının planlama döngüsündeki yeri “Havayolu pazarlama planlama süreci ve iş mantığı analizi” bölümünde.