İki aşamalı Cox dağılımıyla spill ölçümü

Önceki bölüm iki aşamalı Cox dağılımının neden gerektiğini ve nasıl kurulduğunu anlattı: birinci sınıf talebi negatif üstel dağılımın taşıyamayacağı kadar oynak, iki üstel fazdan kurulan bir model bu oynaklığı yakalıyor. Bu bölüm dağılımın öbür ucuna, çıktısına bakıyor. Model kurulduktan sonra ondan hangi sayılar okunuyor, o sayılar hangi girdilerden türetiliyor ve hangi kararı besliyor? Spill’i doğrudan ölçemezsin; yalnızca geçmiş talebin iki momentinden bir dağılım kurup o dağılımın kapasitenin ötesinde kalan alanını hesaplayabilirsin. Yani spill bir gözlem değil, bir modelin çıktısı, ve modelin girdileri kadar doğru.

Satış sistemi reddettiği talebi hiç görmüyor

Spill tanımı basit: havayolu talebi (D) uçağın fiziksel kapasitesini (c) aştığında, kapasite yetersizliği yüzünden bilet alamayan potansiyel yolcular taşan talebi oluşturuyor. Zor olan tanım değil, ölçüm. Sunumun sistem notu mekanizmayı somut koyuyor: yolcu hizmet sistemi (PSS) kapasite sıfıra indiğinde satışı durduruyor, EDIFACT ya da XML mesajları kesiliyor. O andan sonra gelen talep hiçbir sisteme istek olarak düşmüyor. Sistemler yalnızca gerçekleşen satışı görüyor; reddedilen talep kayıt bırakmıyor.

Aynı slayt zıt kavramı da hatırlatıyor: spoilage, yani boş koltukla uçmak. Kapasite kararı bu iki kaybın arasında duruyor. Spoilage görünür, çünkü boş koltuk manifestoda sayılıyor. Spill görünmez. Bu asimetrinin mühendislik sonucu açık: raporlama katmanı yalnızca olay verisinden besleniyorsa, iki kaybın biri her zaman eksik görünür ve karar tek yöne kayar. Yazılım tarafında bunun karşılığı şu: spill, envanter olaylarından türetilen bir metrik değil, tahmin motorunun ürettiği ayrı bir veri ürünü olarak tasarlanmalı ve raporda spoilage’ın yanında, aynı ağırlıkla durmalı.

Moment eşleştirme iki sayıyı modele çeviriyor

Görünmeyen talebi geri kurmak için elde iki sayı var: geçmiş talebin örneklem ortalaması (μ) ve standart sapması (σ). İkisinden türeyen üçüncü sayı varyasyon katsayısı (CV), standart sapmanın ortalamaya oranı. Kaynak metin parametrelerin bu verilerden moment eşleştirme (matching moments) yöntemiyle türetildiğini söylüyor: modelin ortalaması ve varyansı, geçmiş verinin ortalaması ve varyansına eşitlenecek şekilde aşama parametreleri γ1 ve γ2 hesaplanıyor. Böylece teorik dağılım eldeki tarihsel talep verisiyle istatistiksel olarak tutarlı kalıyor.

Denklemde bir serbestlik daha var ve o, a adında bir kalibrasyon sabitiyle kapatılıyor. Kaynak iki kural koyuyor. Birincisi bir sınır: a, CV’ye doğrudan bağlı ve a < 2/(1+CV²) koşulunu sağlamak zorunda. İkincisi bir başlangıç değeri: geçmiş çalışmalar ve kalibrasyon süreçleri, pratikte a = 0,1’in etkili bir başlangıç noktası olduğunu gösteriyor.

Sınırın pratik anlamı, CV büyüdükçe a için izin verilen aralığın daralması. CV bir iken üst sınır bir; CV 1,40 iken 2/(1+1,96), yani yaklaşık 0,68. Oynaklık arttıkça a’nın seçilebileceği bölge küçülüyor. a = 0,1 bu sınırın altında epey geniş bir pay bırakıyor, bu yüzden yüksek CV’li uçuşlarda da geçerli bir başlangıç.

Sunumun mühendislik notu bu tercihin maliyet tarafını söylüyor: moment eşleştirme, bir tahmin motorunun her gece milyonlarca O&D kombinasyonuna eğri uydurması için çok verimli bir yöntem, ve sabit bir a değeri toplu işlemde ciddi süre kazandırıyor. Yöntem iteratif bir optimizasyon değil; ortalama ve varyans okunuyor, parametreler kapalı formda çıkıyor. Yazılım tarafında bunun karşılığı, kalibrasyonun gece koşan bir batch işinde her O&D için sabit maliyetli bir adım olması. Bedeli de burada: sabit a bir varsayım ve her satır için doğrulanmıyor. Sınır koşulu ise bir doğrulama kuralı olarak koda girmeli. CV’si a = 0,1’i geçersiz kılacak kadar büyük bir satır geldiğinde motor sessizce anlamsız bir γ üretmemeli, satırı işaretlemeli.

Üç metrik aynı kuyruk alanının üç okuması

Parametreler hazır olduğunda dağılımdan üç sayı okunuyor, üçü de kapasitenin ötesindeki kuyruğa bakıyor.

Birincisi uçuş kapanma oranı (flight closing rate): talebin kapasiteyi aşma olasılığı, Pr(D > c). Cox dağılımının yoğunluğu iki üstel terimin toplamı olduğu için bu olasılık da kapalı formda çıkıyor: A·e^(−γ1·c)/γ1 artı B·e^(−γ2·c)/γ2. Bu sayı uçağın satışa kapanma sıklığını, yani dolma hızını anlatıyor.

İkincisi beklenen spill: kapasite yetersizliği yüzünden reddedilmesi beklenen ortalama yolcu sayısı. Tanım olarak, kapasitenin ötesindeki her x için talebin x’i aşma olasılığının c’den sonsuza integrali. Aynı üstel yapı sayesinde bu da kapalı formda kalıyor: paydalar kareye çıkıyor, A·e^(−γ1·c)/γ1² artı B·e^(−γ2·c)/γ2². Kaynak metin bu hesabın operasyon ekibine uçağın ne kadar küçük kaldığına dair somut bir veri verdiğini söylüyor.

Üçüncüsü spill oranı: beklenen spill’in ortalama talebe (μ) bölümü, yani toplam talebe oranla kaçırılan yolcu yüzdesi.

Üç metriğin ayrımı rapor tasarımında önemli, çünkü farklı soruları cevaplıyorlar. Kapanma oranı bir sıklık: bu uçuş kaç günde bir doluyor? Beklenen spill bir miktar: dolduğunda kaç kişi dışarıda kalıyor? Spill oranı bir oran: talebin ne kadarını kaçırıyoruz? Sık kapanan ama az yolcu kaçıran bir uçuşla nadiren kapanan ama kapandığında çok yolcu kaçıran bir uçuş aynı spill oranını üretebilir; kapasite ve fiyat açısından ise farklı sorunlardır.

Sunumun sistem notu bu metriklerin nereye aktığını da söylüyor: doğrudan EMSR (beklenen marjinal koltuk geliri) hesabına. Beklenen spill yüksekse sistem düşük getirili bilet sınıflarını erkenden kapatıyor. Kaynak metin aynı mantığı kapanma oranı için kuruyor: kapanma oranı öngörülenin üzerindeyse sistem baz ücreti artırma ya da envanteri kısıtlama kararı alabiliyor. Bir not daha var: gelişmiş O&D ağ sistemlerinde c fiziksel kabin değil, sanal bir ağ kapasite sınırı olabiliyor. Yazılım tarafında bunun karşılığı, spill fonksiyonunun imzasında c’nin koltuk sayısı olarak değil soyut bir kapasite değeri olarak durması. Aynı fonksiyon bir bacak kabini için de, bir O&D’ye ayrılmış sanal kapasite için de çağrılabilmeli.

Spill oranı yüksek dolulukta dikleşiyor

Spill oranıyla gözlemlenen doluluk arasındaki ilişki pozitif, ama doğrusal değil. Kaynağın Şekil 3.8 olarak andığı grafik bunu CV 1,40 ve yüzde 100 kapanış doluluğu (LFCF, satışa kapanan uçuşlardaki doluluk) varsayımıyla gösteriyor: gözlemlenen doluluk arttıkça spill oranı hızla yükseliyor. Sunumdaki çizim şekli belirginleştiriyor: eğri uzun bir süre sıfıra yakın seyrediyor, yüzde 80 dolulukta dikleşiyor ve yüzde 100’e doğru neredeyse dikey çıkıyor.

Bu çizim stilize, değer okumak için değil şekli görmek için var; önceki bölümün tabloları aynı ilişkiyi rakamla ve farklı varsayımlarla veriyordu. Şeklin söylediği şey ise tutarlı: kayıp, doluluğun kuyruğunda birikiyor. Talebin ortalaması kapasiteye yaklaştıkça talebin kapasiteyi aştığı günler hem sıklaşıyor hem de aşımın büyüklüğü artıyor; kalın kuyruklu, yüksek CV’li talepte bu daha erken ve daha sert oluyor.

Sunumdaki yönetim notu bunun kurumsal yüzünü söylüyor. Tam dolu bir uçak operasyonel bir başarı gibi görünüyor. Gelir yönetimi analisti ise yüzde 100 doluluğu sevmiyor, çünkü bu, koltukların erken ve ucuz satıldığı, son dakikada yüksek ücret ödeyecek kurumsal yolcunun kapıdan döndüğü anlamına gelebiliyor. Sunumun ifadesiyle optimizasyon en yüksek doluluğu değil, en yüksek geliri hedefliyor. Kaynak metin buradan somut bir iş kuralı çıkarıyor: yüksek doluluk beklenen uçuşlarda spill riskini azaltmak için daha yüksek kapasiteli uçak ya da dinamik fiyatlandırma önerilmeli.

Mühendislik açısından bu eğrinin bir sonucu daha var: yüksek dolulukta spill tahmini, girdilerdeki küçük hatalara karşı çok hassas. Aynı kavisin dik bölgesinde CV ya da LFCF’deki küçük bir kayma büyük bir spill farkına dönüşüyor. Kaynağın CV 1,40 ve üzerindeki yüksek belirsizlikli uçuşlar için yeniden kalibrasyon önermesi bu yüzden. Tek bir parametre setiyle çalışan bir motor, düşük dolulukta güvenilir, yüksek dolulukta ise tam da kararın verildiği bölgede en belirsiz sonucu üretir.

Dağılım seçimi verinin şekline göre yapılmalı

Cox tek aday değil. Kaynak metin Li ve Oum’un 2000 tarihli çalışmasına dayanarak nominal talebin farklı istatistiksel dağılımlar sergileyebileceğini hatırlatıyor ve normal, lojistik ve gama dağılımlarını alternatif olarak anıyor. Önerdiği iş kuralı nötr: verinin çarpıklığına ve varyansına göre en düşük hata payını veren dağılım seçilmeli. Cox’un avantajı iki aşamalı yapısının verdiği esneklik.

Sunum dört ailenin ne zaman işe yaradığını kısaca ayırıyor. Normal dağılım en yaygın ve en basit model; simetrik, ama yüksek varyanslı veride eksi yolcu talebi gibi anlamsız tahminler üretebiliyor. Lognormal ve gama sağa çarpık yapılarıyla talebin sıfırın altına hiç düşmediği durumlar için güvenilir. Lojistik dağılım normale göre daha kalın kuyruklu, uç ve beklenmedik talepleri daha iyi yakalıyor. Cox ise empirik veriye yüksek uyum sağlıyor ve asimetrik talep için a = 0,1 sabitiyle kalibre edilebiliyor.

Sunumun tarihsel notu seçimin nereden geldiğini açıklıyor: 90’larda kurulan gelir yönetimi sistemleri işlem gücünden tasarruf için normal dağılım kullanıyordu. Modern O&D sistemleri Cox, gama ya da lognormal modellere geçmiş durumda ve sunum bu geçişi teklif yönetimi akışlarını derinden etkileyen stratejik bir IT yatırımı olarak niteliyor. Yani dağılım seçimi bir istatistik tercihi olduğu kadar bir mimari miras. Eski bir sistemin içinde normal dağılım varsayımı, adı konmadan birçok modüle yayılmış olabiliyor.

Yazılım tarafında bunun karşılığı, dağılımın arkasında bir arayüz durması. Spill motorunun ihtiyaç duyduğu şey sınırlı: kapasitenin ötesindeki olasılık ve o bölgedeki beklenen aşım. Bu iki fonksiyonu sunan her dağılım aynı yere takılabilmeli. Böylece Li ve Oum’un önerdiği kural, yani veriye en düşük hatayla uyan dağılımı seçmek, pazar ya da kabin bazında bir konfigürasyon kararına dönüşüyor; motoru yeniden yazmayı gerektiren bir projeye değil.

Yarın işe yarayacak üç çıkarım

1. Kalibrasyonu a = 0,1 ile başlat, sınırı kodda denetle. Talep tahmin modellerinde a = 0,1’i ortak başlangıç değeri yap; bu, modeller arasında tutarlılık sağlıyor. Ama a < 2/(1+CV²) koşulunu her satır için doğrula ve sınırı ihlal eden satırı işaretle, sessizce işleme.
2. Spill oranı yüzde 10-20 bandını aşan rotada uçak tipini masaya koy. Cox dağılımından çıkan spill oranı bu bandın üstüne çıktığında uçak tipi değişikliğini (equipment change) değerlendir. Beklenen spill yüksek, kapanma oranı öngörülenin üzerindeyse kısa vadede cevap envanterde: düşük getirili sınıfları erken kapat ya da baz ücreti yükselt.
3. Yüksek belirsizlikli uçuşları ayrı kalibre et. CV’si 1,40 ve üzerinde olan uçuşlarda spill oranlarını Şekil 3.8’deki Cox modeline göre yeniden kalibre et. Bu uçuşlar eğrinin dik bölgesinde duruyor; ortak parametre seti orada en büyük hatayı üretiyor.

Bu bölümde ne yok: iki aşamalı Cox dağılımının yapısı, faz tipi dağılımların kökeni ve kapanış doluluğu varsayımının kayıp yolcu tahminini nasıl katladığı “Yüksek varyanslı talep ve iki aşamalı Cox dağılımı” bölümünde; CV ve LFCF’nin hangi veriden, hangi filtreyle kalibre edildiği “Havacılık spill modelleri için girdi parametrelerinin kalibrasyonu” bölümünde. Taşan yolcunun aynı havayolunun başka uçuşuna geçmesi (recapture) ve kısıtlanmamış talebin optimizasyona nasıl girdiği de spill bölümlerinin konusu. Bu bölüm yalnızca Cox modelinden hangi üç sayının okunduğunu, o sayıların hangi girdilerden türediğini ve hangi karara aktığını anlatmak için var.